异构和泰勒展开
前言
说实话，我不是很确定大学考试需不需要用到这一部分的知识，因为证明不等式已经不像是高中一样只有只用手段：求导。不过从目前来看，在第三章中还是有用武之地的，至少从我我看到的题目来看是有用的。
异构
什么是异构？异构就是构造相异的函数。异构对于不等式只有一种玩法：保值性。保值性其实我们初中就学过，假如$a\geq0$ 那么$a+|b|+\sqrt{c^2}$一定是大于等于$0$的。这里我就不多做解释了
泰勒展开
这个大家最近都学过，我也不过多阐释，仅在这里写几个常用的麦克劳林公式：
异构与泰勒展开
这里，才是本文最重要的核心。 刚刚我们提到异构是构建相异的函数，那么这个函数怎么来呢？ 我们先分析一下，假设我们要证明一个不等式$f(x)>g(x)$，那么根据异构的思路，我们就要从原始式子构造成这样$ p(x)+q(x)>0 $其中$p(x)\geq0,q(x)\geq0$。如果说原式要取等号，那么还需要满足$p(x)$和$q(x)$同时在某处取等。 这个时候泰勒展开闪亮登场，理由我们慢慢说来： 我们先看看带有拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式：
$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{‘’}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{f^n(x_0)}{n!}+R_n(x)$
其中
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$这里$\xi$是$x_0$与$x$站之间的某个值。
观察上述式子，左边后右边关键相等的是哪一个东西？
对，就是余项$R_n(x)$，这个东西其实就是一个逼近拟合的误差。所以，当我们去掉这个误差的时候，这就是一个不等式了。
接下来问题来了，那么它到底是大于还是小于呢？
其实还是看余项，这也是为什么我们看到是带有拉格朗日余项的泰勒展开，因为它好判断正负呀。如果它是正的，那么左边大于右边，如果它是负的，那么右边大于左边。
所以，我们只需要把余项取掉，把右边丢过来，就可以获得一个关于此函数的不等式。
好，大于小于解决了，那么取等呢？
我们们试试把$x_0$带入原式看看，欸，你会发现，左右两边相等！
这也就意味着，$x_0$就是它的一个零点。它的取等条件也是这个。
因此，泰勒展开基本完美的解决了这类非初等函数的寻找不等式的问题。
接下来，我将以作业本上的题为例，讲述一下如何操作：
证明下列不等式： $-e^{-x} + sinx < 1 + \frac{x^2}{2} (0 < x < 1)$
法一（端点效应）：
解析：略
令$f(x)=e^{-x} - \frac{x^2}{2} + sinx -1$
$f’(x)=-e^{-x} -x + cosx $
$f^{‘’}(f) = e^{-x} - 1 - sinx < 0, f(x)$在$(0,1)$上单调递减
又$f(0) = 0$
所以$f(x) < f(0) = 0$
即$f(x) < 0$
法二（异构）：
解析： 异构强调的是观察能力。 在此处有$e^x$，有$\frac{1}{2}x^2$还有$sinx$。 不难猜想出$e^x$的二阶展开和$sinx$的一阶展开。
$ e^{-x} + sinx < 1 + \frac{x^2}{2} $
$ \Longrightarrow e^{-x} - \frac{1}{2}x^2 + x - 1 < x - sinx $
因为$ e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{e^{\xi_1}}{6}x^3 $
所以当$ x < 0 $时，$e^x < 1 + x + \frac{1}{2}x^2$
所以当$ x \in (0 , 1) $时，$e^{-x} < 1 - x + \frac{1}{2}x^2 \Longrightarrow e^{-x} - \frac{1}{2}x^2 + x - 1 < 0$
因为 $ sinx = x - \frac{cos\xi_2}{6}x^3$
所以当$ x \in (0 , 1) $时，$ sinx < x \Longrightarrow x - sinx > 0 $
所以$ x - sinx > 0 > e^x - \frac{1}{2}x^2 + x - 1 $
即$ e^{-x} - \frac{1}{2}x^2 + x - 1 < x - sinx$
原不等式得证。
结语
异构这个方法，它本质是将很难求导处理的问题简单化，所以，这种方法不是在所有地方都非常方便。就像这道列题，你会发现，你用端点效应要写的少的多，当然，异构给你的计算量就少一点，因为你只要观察出了$e^x$的二阶展开，和$sinx$的一阶展开就很好做了。 总之，方法毕竟是方法，它是给我们用的，我们不能被方法所绑架，在合适的时候选取合适的方法才是必胜之道。